19 年前， 王虹和鄧煜 同爲北京大學 2007 級本科生，卻從一開始就走在不同軌道上：16 歲的王虹先進入地球與空間科學學院，隨後轉入數學系；帶着國際數學奧林匹克金牌入學的鄧煜，兩年後轉學麻省理工學院。兩人在燕園真正重疊不過一年，19 年後，卻因推進兩道延續數十年乃至上百年的數學難題，同時出現在獲獎名單上。
王虹研究的是，一根線段朝向所有方向時，組成的集合究竟有多“大”；鄧煜研究的是，無數服從牛頓定律運動的粒子，如何在宏觀上成爲一股可以用流體方程描述的氣體。
而這兩條道路的起點，留在一張已經有些陳舊的北大網頁上。
一張導師表裏的 2007 年
2007 年 9 月，8,253 名新生在北大百週年紀念講堂唱起《燕園情》，數學學院 07 級本科生林茜作爲新生代表發言。她稱這一批年輕人是“少數的幸運者”，除了個人夢想，也承擔着同時代人的期待。近 20 年後回看，這段話有了更具體的註腳。
北大數院網站至今保留着其中一份日常記錄：《零七級三班本科生導師安排》。
圖丨當年的導師安排（來源：北京大學數學科學學院）
名單上，鄧煜被分給範輝軍擔任本科生導師。唐雲清、餘越、張瑞勳等人的名字也在上面，導師是包志強。頁面末尾還有一則班會通知：原則上，每名學生可以使用本科生導師工作的專項經費報銷 90 元書費，前提是拿到正式發票和導師簽字。
後來被稱爲“黃金二代”（也稱爲“白金一代”）的一羣人，最早留下的網絡痕跡並不宏大，不過是一張導師分組表，以及 90 元買書錢。
鄧煜早已是名單上最耀眼的人之一。他 198 9 年出生於深圳。2001 年進入深圳高級中學後，他跟隨數學競賽教練馮躍峯學習了五年。老師後來回憶，鄧煜喜歡解題，做出難題時會興奮地自言自語。
2006 年，讀高二的鄧煜在全國中學生數學冬令營中取得第一名，進入國家集訓隊。同年舉行的國際數學奧林匹克競賽中，他以 35 分獲得金牌，個人排名第六。
圖丨2006 年，鄧煜與競賽教練馮躍峯載譽歸來（來源：深圳高級中學）
北大隨後提前錄取了他。到 2007 年正式入學時，鄧煜已經完成了競賽體系對一箇中學生所能給出的最高認證。
2008 年，北京市第十九屆大學生數學競賽，鄧煜又獲得甲組特等獎。同屆的沈才立、蘇煒傑、劉雨晨包攬了 3 個一等獎。第二年，唐雲清、姜子麟、蘇煒傑、李欣意等人又分別組成團隊，在美國大學生數學建模競賽中獲獎。
而王虹一開始並沒有出現在數院的名單上。她比鄧煜小兩歲，來自廣西平樂。父母都是沙子中學的老師，父親教數學，母親教英語。
她 5 歲直接讀小學二年級，此後又跳過一次級，16 歲參加高考。但在進入桂林中學之初，她的年級排名還在一百名以外，高二進入前六十，高三才進入前十。
現有公開資料沒有顯示王虹接受過系統的奧數訓練。她更習慣自己摸索：每逢開學前，會借來下一學期的教材，自己先讀一遍。碰到問題，她很少立即找老師，有時獨自想上幾天，再和同學討論。
高中前兩年，她常常不完成老師統一佈置的作業，上課時還會讀別的書。她當時對記者說：“自己要有自己的想法，不絕對地跟着老師走，適當地跟。”
她也不像一名傳統的苦讀生。早晨踩着鈴聲進教室，中午卻總是最早衝到食堂。原因很簡單：“我怕排隊喫飯，晚去一秒鐘，排隊十分鐘。”
2007 年高考，王虹考了 653 分。她想學數學，分數沒有達到數學系的錄取線，最終進入北大地球與空間科學學院。平樂縣委宣傳部報道她考入北大的那篇結尾寫道：王虹聽說北大第二年春天可以申請轉系，已經開始自學數學系的課程。
兩個人面對的第一道分流，發生在數學分析課堂。
他們的同屆同學、現任 北京大學北京國際數學研究中心教授孫鑫 在知乎上的回憶貼寫道，當時北大數院的數學分析分爲不同教學軌道。有奧賽背景的學生進入陳天權的實驗班；以高考生爲主的學生更多進入伍勝健的普通班。孫鑫第一次在數學分析課上見到王虹時，她還沒有從地空學院轉入數院。
從大一開始，學生們就在正式課堂之外組織討論班，學生要自己找問題、讀材料，再到黑板前講給同學聽。鄧煜、劉雨晨、許地生等人是活躍成員。相對而言，據她的同班同學盧天亮回憶，王虹是其中“不顯山不露水的”的那一個。
一個後來轉入，一個提前離開
大一後半段，王虹轉入數院。2009 年，鄧煜轉學麻省理工學院。兩人的燕園交集，到此結束。
在同學的記憶裏，王虹並不是本科階段最張揚的學生。她常穿運動服，喜歡乒乓球。她的本科論文導師劉張炬也擅長乒乓球，在他的指導下，王虹完成畢業論文《經典 Hodge 理論和度量空間上的 Hodge 理論》。
Hodge 理論試圖用微分方程和分析工具理解幾何空間的整體結構。這與她後來聞名的調和分析並非同一個問題，卻已經出現了貫穿其研究生涯的興趣：怎樣從局部、細小甚至碎片化的信息，判斷一個空間整體是什麼樣子。
2011 年從北大畢業後， 王虹通過國際生選拔進入巴黎綜合理工學院。得知錄取後，她纔開始學習法語。正式開學前，她先在法國南部一個家庭住了 5 周；抵達法國時，面對機場出租車司機的一句問候，她仍不知道怎樣回答。課堂語速很快，電子詞典也來不及查，同學便在課後重新給她解釋。
圖丨王虹在麻省理工學院攻讀數學博士期間。（來源：MIT Women in Mathematics）
鄧煜到麻省理工後的生活，則保留在他自己的一篇知乎回答裏。
他回憶，21 歲時，一個學期會選五六門數學課，同時讀三本書；曾經花一週時間讀一篇 85 頁的論文，逐步檢查其中的論證。晚上，他有時睡在本科生數學休息室，翻《美國數學月刊》，聽窗外的蟲鳴，天亮前再把被子搬回宿舍。
他也沿河散步、寫詩、下圍棋、玩《Braid》，和朋友討論 Pólya 計數定理，也討論多元家庭在道德和法律上的合理性。爲了補貼生活，他靠批改微積分作業每學期賺兩三百美元，那時“下不起館子”，只能天天喫 Chicken Teriyaki（照燒雞飯）。
2010 年，鄧煜成爲普特南數學競賽個人前五名之一。次年，他從麻省理工畢業，進入普林斯頓大學攻讀博士。
圖丨2011 年，鄧煜（右二）與另一位普特南學者 Colin Sandon及指導教師合影。（來源：MIT Putnam Photo Index）
在這個近乎由課程、論文和習題組成的生活裏，鄧煜還保留着一項延續多年的愛好：百合漫畫。
他曾在知乎寫過一份相當系統的百合漫畫推薦，按照作者和作品整理書目，用粗體標記個人推薦，還詳細分析人物關係和情感推進。他把《飴色紅茶館歓談》稱作自己“有意識看的第一部百合漫畫”。他的知乎簽名一直是：“願世界和平，願龍憐結婚。”
鄧煜現在的個人主頁仍把詩歌、故事、小說、謎題、漫畫、圍棋和足球列爲興趣。他對虛構故事的投入，並沒有被高強度的數學訓練擠掉。一個人在深夜檢查幾十頁證明，也會認真判斷漫畫裏一段感情寫得是否可信。
每個方向都有一根針
王虹後來進入的領域叫調和分析。它研究函數如何分解成不同頻率，以及這些頻率如何疊加、傳播和集中。聲音、光、波動方程和量子力學中都能看到類似結構；在純數學裏，調和分析又與幾何、偏微分方程和數論相連。
掛谷猜想是這個領域的中心問題之一。
圖丨相關論文（來源： arXiv ）
2025 年 9 月，王虹成爲法國高等科學研究所的常任教授，同時保留紐約大學的聯合職位。幾個月後，她與古思、扎爾又發表了一份更簡化的證明，重新組織原來長篇論證中的主要結構。
從 MIT 博士論文裏的“掃帚”，到普林斯頓高等研究院時期對傅里葉分析與關聯幾何的繼續探索，再到 UCLA 階段的黏性掛谷集合、紐約大學階段的完整證明，王虹一直在追蹤同一個問題：許多方向不同的細管，究竟能夠以什麼方式擠在一起。
從粒子碰撞走向一股氣體
鄧煜處理的是另一種“從很多到一個”的問題。
1900 年，希爾伯特提出第六問題，希望用嚴格的數學公理和極限過程，建立微觀力學、概率論與宏觀物理定律之間的聯繫。它並非一道只有“證明”或“證僞”的單獨猜想，更接近一項龐大的研究計劃。
氣體動力學提供了其中一個具體版本。
在微觀尺度上，氣體由數量巨大的粒子組成，每個粒子按照牛頓定律運動併發生碰撞。在中間尺度上，玻爾茲曼方程不再追蹤每一個粒子，而是描述粒子的位置和速度分佈。來到宏觀尺度，氣體又可以被壓縮成密度、速度和溫度等少數變量，服從歐拉方程或納維－斯托克斯－傅里葉方程。
物理學家早已使用這三套理論。數學上的困難，是嚴格證明它們能夠在合適的尺度極限下逐級推出。
從硬球粒子系統推導玻爾茲曼方程尤其困難。隨着時間延長，碰撞次數迅速增加，原本相互獨立的粒子會形成關聯，一些粒子還可能再次相撞。每增加一輪碰撞，可能的歷史便成倍增長，誤差沿着龐大的碰撞樹不斷累積。
20 世紀 70 年代，奧斯卡·蘭福德（Oscar Lanford）完成了奠基性證明，但他的結果只對非常短的時間成立。如何把這一推導延伸到玻爾茲曼方程解存在的整個時間區間，長期沒有得到解決。
鄧煜後來把自己進入這個問題的過程稱爲“無心插柳”。在 2024 年之前，他沒有發表過關於玻爾茲曼方程的論文。他抵達這個問題的路徑，先繞路經過了另一種宏觀現象——波湍流。
2018 年底至 2019 年初，鄧煜正在研究帶隨機初值的色散方程。在芝加哥大學的一次會議上，當時與他並不熟悉的扎赫爾·哈尼（Zaher Hani）找到他，詢問能否一起研究波動動理學方程。
波湍流與稀薄氣體有一組相似的對應關係：氣體中的粒子對應波湍流中的波或波包，粒子碰撞對應不同波之間的非線性相互作用，玻爾茲曼方程則對應波動動理學方程。兩類問題都需要從數量巨大的微觀相互作用中提取一個統計性的宏觀方程。
鄧煜此前處理隨機傅里葉級數時積累的組合工具，恰好可以用來整理波之間數量龐大的相互作用圖。兩人先完成了部分情形。哈尼隨後提出繼續處理最困難的臨界尺度，鄧煜一度認爲做不出來，但進一步計算讓他們發現了新的組合結構。
2021 年 4 月，兩人上傳《波動動理學方程的完整推導》，嚴格證明可以從非線性薛定諤方程推出波動動理學方程。這個結果在時間尺度上仍然與蘭福德定理相似，只覆蓋宏觀方程的短時間演化。
同年秋天，鄧煜在布朗大學參加 ICERM 的研究項目。一次偶然的機會，他開始思考，原來的短時間證明如果繼續向後延伸，會發生什麼。計算中出現的一類抵消，使他意識到長時間展開可能存在一種穩定的方向性。他後來把這種結構與波動動理學方程中的“時間箭頭”聯繫起來。
鄧煜和哈尼從 2022 年下半年開始系統處理這個問題。2023 年 11 月，兩人上傳長時間波湍流論文，把推導延伸到波動動理學方程解存在的整個時間區間。
也是在 2022 年底到 2023 年初，鄧煜瞭解到，從硬球系統長期推導玻爾茲曼方程仍是一個重要的開放問題。過去，人們通常借用粒子系統的思路理解波湍流；他們決定把方向反過來，嘗試把在波動動理學方程中形成的組合方法重新帶回粒子碰撞。
2022 年 12 月，在紐約的一次西蒙斯合作項目會議上，鄧煜與馬驍討論了這個設想。馬驍既熟悉波動動理學，也系統學習過氣體動理學。“要拉個人的話不可能有比他更合適的了”，鄧煜自述道。於是，2023 年 4 月項目正式啓動時，馬驍加入了鄧煜和哈尼的合作。
硬球系統不能直接照搬波湍流中的抵消結構。三人真正繼承的是另一套思路：不要只逐層展開碰撞，而要記錄完整的碰撞歷史，再用累積量組織粒子之間逐漸形成的關聯。他們把大量碰撞關係編碼成稱爲“分子”的組合圖，並設計“切割算法”，把過於複雜的碰撞網絡拆成可以分別估計的部分。
僅僅爲了控制這些組合圖，他們便用大約半年時間完善一系列估計算法。2024 年 8 月，三人完成並上傳《從硬球動力學長期推導玻爾茲曼方程》。
這篇論文把蘭福德定理的“短時間”推進爲：只要相應的正則玻爾茲曼方程解仍然存在，從硬球粒子系統到玻爾茲曼方程的推導就持續成立。論文後來被《數學年刊》接收，截至目前仍爲待刊狀態。
完成微觀粒子到玻爾茲曼方程的長時間推導後，下一步是接上宏觀流體方程。
2025 年 3 月 3 日，鄧煜、哈尼和馬驍上傳《希爾伯特第六問題：通過玻爾茲曼動理學推導流體方程》。他們把已有的玻爾茲曼極限與流體極限接在一起：從服從牛頓力學併發生彈性碰撞的硬球系統出發，先得到玻爾茲曼方程，再推出可壓縮歐拉方程和不可壓縮納維－斯托克斯－傅里葉方程。
圖丨相關論文（來源： arXiv ）
這項工作完成了一條從微觀粒子、到統計分佈、再到宏觀流體的嚴格推導鏈條。在論文自己的限定語中，它解決的是希爾伯特第六問題中“經由玻爾茲曼動理學，從牛頓定律推導流體方程”的部分。
因此，一些說法將其概括爲“解決希爾伯特第六問題”並非全無依據，但需要加上限定範圍。希爾伯特最初提出的公理化物理計劃還涉及概率基礎、其他物理理論和連續介質；這些更廣泛的問題還沒有被一併解決。
就這樣，鄧煜從“無心插柳”開始，接通了希爾伯特第六問題中從粒子碰撞到流體方程的這條路。從隨機色散方程到波湍流，從短時間推導到長時間推導，再從波重新回到粒子，前一個問題中形成的工具和疑問，不斷把他帶向下一個問題。
奇蹟和魔法都是存在的
2024 年 11 月，鄧煜、哈尼和馬驍上傳了長期推導玻爾茲曼方程的論文。2025 年 2 月，王虹和扎爾公開三維掛谷猜想的證明；一個月後，鄧煜等人又發表了連接牛頓力學、玻爾茲曼方程與流體方程的論文。幾個月內，北大數學 07 級的兩名學生，分別交出了兩項經過多年研究才抵達的成果。
但數學論文只保留最後成立的定義、引理和證明，很少記錄一個想法在什麼地方出現，又經過多少次失敗才被書寫下來。
王虹很少公開復述證明完成時的細節。2025 年 1 月，她回北大作報告，結束後才告訴孫鑫，自己和扎爾已經完成證明。她談論研究時，更常提到怎樣把一個大問題改成比較簡單的問題，怎樣用已有的例子測試猜測，以及在一個很小的地方計算兩個星期。
鄧煜留下了另一類記錄。他在知乎留下的一篇長文寫道：2021 年秋天，他在布朗大學訪問，在一家韓國餐廳喫炸雞時，想到怎樣把波動動理學方程的短時間結果延伸到長時間。寫下這段經歷時，他引用李白的“洞天石扉，訇然中開”，又在講解複雜的抵消結構時放進《魔法少女小圓》的臺詞：“奇蹟和魔法都是存在的。”這些細節多少讓我們得以窺見，論文之外，一個數學家如何記住自己的發現：一頓飯、幾句詩，以及一部看過的動畫。
他還寫到 2018 年去世的讓·布爾甘。布爾甘的研究影響了鄧煜後來處理隨機偏微分方程的多條線索。鄧煜有時會想，布爾甘如果再多活兩三年，會怎樣評價他們在 2019 年和 2020 年完成的工作。“這真的是我很好奇想知道的事啊，只是永遠沒有機會了。”
2025 年 11 月，有人在知乎問鄧煜獲得菲爾茲獎的可能性。他寫了一篇很長的回答，詳細解釋隨機張量、吉布斯測度和幾次研究轉折。談到獎項，他回覆道：“可能這是喫瓜羣衆關心的問題，但我也只能回答一句——無可奉告。”
如今，我們終於看到了這個問題的答案。
參考資料：
1. https://www.icm2026.org/
2. https://arxiv.org/abs/2502.17655
3. https://arxiv.org/abs/2601.14411
4. https://arxiv.org/abs/2411.08871
5. https://arxiv.org/abs/2503.01800
6. https://sites.google.com/uchicago.edu/yudeng/research
7. https://www.zhihu.com/question/34782710/answer/354811354
8. https://math.pku.edu.cn/teachers/baozq/year07/supervisor.htm
9. https://math.pku.edu.cn/docs/20191013160525415539.pdf
10. https://math.pku.edu.cn/xyxw/144759.htm
11.https://www.ihes.fr/wp-content/uploads/2025/11/BM21-EN.pdf
運營/排版：何晨龍
注：封面/首圖由 AI 輔助生成